まず、シングルトンを使うとどんな効果があるのか？

シングルトン試し１
サンプルソース

１.シングルトンじゃないクラス（Normal.as）とシングルトンのクラス（Singleton.as）を用意

Normal.as

package {
	import flash.display.Sprite;
	public class Normal extends Sprite{
		public function Normal():void
		{
			init();
		}


		private function init():void
		{
			trace("普通");
		}
	}
}

Singleton.as

package
{
	import flash.display.Sprite;


	public class Singleton extends Sprite
	{
        public static var instance:Singleton;
        public function Singleton( pvt:SingletonEnforcer )
        {
            init();
        }
        public static function getInstance():Singleton
        {
            if( instance == null ) instance = new Singleton( new SingletonEnforcer() );
            return instance;
        }
		private function init():void
		{
			trace("シングルトン");
		}
	}
}
internal class SingletonEnforcer{};//internal 同じパッケージ内でのみ参照可能

２.ドキュメントクラス（Main.as）でそれぞれインスタンス化してみる

シングルトンじゃないクラスのインスタンス化
複数のインスタンスが作成され、それぞれコンストラクタが実行される。

var normal1:Normal = new Normal();// output: 普通
var normal2:Normal = new Normal();// output: 普通

シングルトンのクラス
singleton1のみコンストラクタが実行される。

//var singleton1:Singleton = new Singleton();//引数が渡せないのでこの形式でインスタンス化できない
var singleton1:Singleton = Singleton.getInstance();// output: シングルトン
var singleton2:Singleton = Singleton.getInstance();// 出力されない

シングルトン試し２
サンプルソース

１.シングルトンのクラス（Singleton.as）とシングルトンをインスタンス化しようとするクラス（Other.as）を用意

Singleton.as
試し１と同じ

Others.as

package {
	import flash.display.Sprite;


	public class Other extends Sprite{
		public function Other():void
		{
			init();
		}


		private function init():void
		{
			// ___________________________________ インスタンス生成
			// シングルトンのクラス
			var singleton1:Singleton = Singleton.getInstance();// 出力されない
		}
	}
}

２.ドキュメントクラス（Main.as）でそれぞれインスタンス化してみる

Othersクラスではシングルトンのコンストラクタは実行されない。

Main.as

package
{
	import flash.display.Sprite;


	public class Main extends Sprite
	{
	

		public function Main():void
		{
			init();
		}
		private function init():void
		{
			// ___________________________________ インスタンス生成
			// シングルトンのクラス
			var singleton1:Singleton = Singleton.getInstance();// output: シングルトン
		

			// シングルトンをインスタンス化しようとしている別クラス
			var other:Other = new Other();// 出力されない
		}
	}
}

これでだいたい挙動はわかった。

『シングルトンのクラスのコンストラクタは１回しか実行されない』

次は当初の目的通り、Stage参照のためにシングルトンを使ってみる。

参考URL
akihiro kamijo コンストラクタ （と Singleton）
pixelbreaker AS3.0 Better Singletons
Flex Coder [Flex]シングルトンの書き方
FumioNonaka.com ActionScript 3.0でプライベートなコンストラクタを定義する